Jedną z metod do zliczania obiektów w prostych sytuacjach kombinatorycznych jest reguła mnożenia.
1. Przykład: Dwukrotny rzut monetą symetryczną.
Wykonujemy kolejno: pierwszy rzut i zapisujemy wynik, drugi rzut i zapisujemy wynik.
Otrzymujemy pojedynczy wynik naszego doświadczenia. Możemy zapisać wszystkie możliwe wyniki naszego doświadczenia: { (O, O); (O, R); (R, O); (R, R) }, gdzie: O - orzeł, R – reszka.
Jak widać są możliwe 4 wyniki naszego doświadczenia. Elementy te możemy zliczyć szybciej metodą mnożenia. W wyniku tego doświadczenia możliwe są w pierwszym rzucie 2 wyniki
( O lub R ) i w drugim rzucie też 2 wyniki ( O lub R ). Gdy pomnożymy ilość możliwych wyników tego doświadczenia w pierwszym i drugim rzucie, czyli 2*2, to otrzymamy łączną liczbę wyników 4. Jak widać metoda mnożenia w zliczaniu obiektów kombinatorycznych jest szybsza od wypisywania możliwych kombinacji.
2. Przykład: Kolejne doświadczenie będzie polegało na rzucaniu kostką do gry, a następnie monetą. Możliwe wyniki doświadczenia można zapisać w tabeli, gdzie w kolumnach będą możliwe wyniki rzutu kostką od 1 do 6 oczek, a w
rzędach wyniki rzutu monetą orzeł (O), reszka (R).
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
O | (1, O) | (2, O) | (3, O) | (4, O) | (5, O) | (6, O) |
R | (1, R) | (2, R) | (3, R) | (4, R) | (5, R) | (6, R) |
Wynikami tego doświadczenia są pary wyników z kostki i z monety. Możemy tu policzyć ilość możliwych wyników, ale stosując metodę mnożenia wyliczymy ich ilość szybciej.
Rzucając kostką możemy otrzymać 6 możliwych wyników, a rzucając monetą mamy 2 wyniki (O lub R). Mnożąc 6*2 otrzymujemy 12 wyników. Widzimy, że metoda mnożenia jest szybsza od wypisywania wyników w tabeli.
3. Przykład: Utwórzmy liczbę czterocyfrową z 10 cyfr. Mamy 10 cyfr: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Ile takich liczb czterocyfrowych możemy utworzyć? Zauważmy, że na pierwszym miejscu liczby czterocyfrowej nie może stać cyfra 0, czyli na pierwszym miejscu pozostaje tylko 9 możliwości ustawienia cyfr, od cyfry 1, 2, 3, …, 9. Na drugim miejscu zero może stać, czyli mamy możliwość ustawienia 10 cyfr. Podobnie na trzecim miejscu może stać 10 cyfr i na czwartym miejscu również 10 cyfr.
I cyfra | II cyfra | III cyfra | IV cyfra |
9 * 10 * 10 * 10 = 9000 |
Gdy wymnożymy wszystkie te możliwości, to otrzymamy 9000 liczb czterocyfrowych utworzonych z 10 cyfr.
4. Przykład: Wykorzystanie pojęcia silni.
Liczba n! to iloczyn wszystkich liczb naturalnych, czyli n! = 1*2*3*…*n.
Gdzie można zastosować regułę mnożenia z wykorzystaniem silni? Rozpatrzmy sytuację,
w której mamy ustawić 5-osobową rodzinę do zdjęć, ale w taki sposób, aby trójka dzieci stała z przodu, a dwoje rodziców z tyłu. Łatwo zauważymy, że rodziców można ustawić na 2! sposobów, natomiast dzieci z przodu można ustawić na 3! sposobów. W związku z tym otrzymujemy: 1*2*1*2*3 = 12, czyli tę rodzinę możemy ustawić na 12 sposobów do fotografii rodzinnej.
Powyższe przykłady obrazują, w jakich przypadkach możemy wykorzystać regułę mnożenia do zliczania obiektów w prostych sytuacjach kombinatorycznych.
Reguła mnożenia nie ma zastosowana do wszystkich przypadków kombinatorycznych.
